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Suponha que sejam realizados 10 ensaios independentes, cada um com dois resultados possíveis: sucesso e fracasso. Suponha que a probabilidade de sucesso em cada ensaio seja p. Desejando-se testar H0 : p = 0,4 contra H1 : p = 0,5, adotou-se {8, 9,10} como região crítica. A probabilidade de se cometer erro do tipo dois é
Instruções: Para responder às questões de números 32 a 34 utilize as informações a seguir.
Uma variável aleatória X tem distribuição normal com média μ e desvio padrão σ desconhecido. Desejando-se testar H0 : μ = 2 contra H1 : μ > 2 tomou-se uma amostra aleatória de 4 observações que forneceu os valores: 4, 2, 2 e 2. A um nível de significância de 10%, no teste mais poderoso, a hipótese H0 será rejeitada se a estatística média amostral X , apropriada ao teste, for maior ou igual a
2,819
2,767
2,673
2,541
2,520
O peso de pacotes de café é uma variável aleatória X : N (μ, σ2). Uma máquina de encher pacotes de café está regulada para fazê-lo com μ = 500 g e σ2 = 100 g2. Com o objetivo de manter sob controle a variabilidade do produto, a cada 30 minutos uma amostra aleatória de alguns pacotes é selecionada e testa-se se a variabilidade está controlada. Assim, desejando-se testar H0 : σ2 = 100 contra σ2 ≠ 100 toma-se uma amostra de n = 16 pacotes de café e observa-se para a variância amostral o valor 160 g2. O valor observado da estatística apropriada ao teste é
31
28
24
22
19
Um atributo X tem distribuição normal com média μ e variância populacional igual a 3.600. Uma amostra aleatória de tamanho 100 extraída da população, considerada de tamanho infinito, forneceu uma média de para X. Um teste estatístico é realizado sendo formuladas as hipóteses H0: μ = 200 (hipótese nula) contra H1: μ > 200 (hipótese alternativa). Sabe-se que H0 foi rejeitada a um nível de significância de 5%. Utilizando a informação da distribuição normal padrão (Z) em que a probabilidade tem-se que o valor encontrado para foi, no mínimo,
219,68
214,76
209,84
204,92
200,00
Um fabricante faz dois tipos de lâmpadas. Seja X a variável aleatória que representa o tempo de vida do primeiro tipo e Y a variável aleatória que representa o tempo de vida do segundo tipo. Sabe-se que X e Y são independentes e que os respectivos desvios padrões populacionais dos dois tipos são iguais a 250 horas, cada um. Um comprador testou 36 lâmpadas do tipo X e 64 lâmpadas do tipo Y, obtendo 1.000 horas e 1.200 horas de duração média para o tipo X e o tipo Y, respectivamente. Foram formuladas as seguintes hipóteses: H0: μx = μy (hipóteses nula, isto é, a vida média dos tipos X e Y é a mesma) e H1: μx ≠ μy (hipótese alternativa). Considerou-se para o teste que o tamanho das populações é infinito, além de serem normalmente distribuídas e que na distribuição normal padrão (Z) a probabilidade P (Z ≥ zα) = α (0 < α 0,5). Então, pode-se afirmar que a um nível de significância de 2 α
H0 não será rejeitada para zα = 3.
H0 será rejeitada para
H0 será rejeitada para
H0 não será rejeitada, para − 4 < zα < 4.
H0 será rejeitada para qualquer valor de devido aos valores obtidos pelas amostras.
Os lucros brutos anuais das empresas de um determinado ramo de atividade apresentam uma distribuição normal com média μ e variância populacional σ2 desconhecidas. A partir de uma amostra aleatória de tamanho 25 da população considerada de tamanho infinito, deseja-se testar a hipótese H0: μ = 20 milhões de reais contra a alternativa H1: μ > 20 milhões de reais, com a realização do teste t de Student. A média e o desvio padrão da amostra são iguais a 23 e 8, respectivamente, em milhões de reais. Seja tc o valor calculado correspondente para comparar com o valor tabelado tt da distribuição t de Student, com n graus de liberdade, ao nível de significância α. Então, é correto afirmar que
H0 não será rejeitada, ao nível de significância α, se tt > 1,875 com n = 24.
Se H0 foi rejeitada, ao nível de significância α, tem-se que tt > 9,375 com n = 24.
Se H0 foi rejeitada, ao nível de significância α, então para um nível de significância superior a α H0 não seria rejeitada.
1,875 < tc < 9,375 e n = 23.
tc = 9,375 e n = 23.
Com o objetivo de comprovar se dois grupos independentes diferem em tendências centrais, um analista utiliza a tabela abaixo formulando as hipóteses:
H0: Os 2 grupos provêm de populações com a mesma mediana (hipótese nula).
H1: A mediana de um grupo difere da mediana do outro grupo (hipótese alternativa).
Então, é correto afirmar que
o teste da mediana não se aplica, uma vez que os tamanhos das respectivas amostras teriam que ser iguais.
o valor da mediana do estudo em questão corresponde à média aritmética do 23° e 24° elementos, combinando os escores dos dois grupos.
para aplicação do teste da mediana há a necessidade, primeiramente, de se conhecer a distribuição da população.
combinando os escores dos dois grupos, há a necessidade de verificar se o valor da mediana do conjunto formado pertence a este conjunto. Caso contrário, o teste da mediana não deve ser aplicado.
caso seja aplicado o teste da mediana, devido à soma dos tamanhos das duas amostras, utiliza-se o qui-quadrado com correção de continuidade.
Considere um teste estatístico envolvendo uma população normalmente distribuída em que se deseja testar, com relação a um parâmetro da distribuição, a hipótese nula (H0) contra a hipótese alternativa (H1), ao nível de significância α. Seja β a probabilidade de aceitar H0 quando H0 for falsa. Então,
β corresponde ao erro tipo I ou erro de primeira espécie.
α > β.
α = 1− β.
a região crítica do teste é determinada em função de β.
corresponde à probabilidade de rejeitar H0 quando H0 for verdadeira.
Uma experiência consiste em verificar se uma moeda é honesta. Em 10 lançamentos da moeda, decide-se pela honestidade da moeda se o número de caras (n) for tal que 4 ≤ n ≤ 6 . A probabilidade de rejeitar a hipótese da moeda ser honesta, quando ela for correta é
Em uma cidade é realizada uma pesquisa sobre a preferência dos eleitores com relação a um determinado candidato, que afirma ter 60% da preferência. Uma amostra aleatória de tamanho 600 foi extraída da população, considerada de tamanho infinito, sendo que 330 eleitores manifestaram sua preferência pelo candidato. Com base nesta amostra, deseja-se testar a hipótese H0 : p = 60% (hipótese nula) contra H1 : p ≠ 60% (hipótese alternativa), em que p é a proporção dos eleitores que têm preferência pelo candidato. Para a análise considerou-se normal a distribuição amostral da frequência relativa dos eleitores que têm preferência pelo candidato e que na distribuição normal padrão Z a probabilidade P(|Z| ≤ 1,96) = 95% e P(|Z| ≤ 2,58) = 99%. A conclusão é que H0
não é rejeitada tanto ao nível de significância de 1% como ao nível de significância de 5%.
é rejeitada ao nível de significância de 5%.
é rejeitada ao nível de significância de 1%.
não é rejeitada para algum nível de significância superior a 5%.
é rejeitada para algum nível de significância inferior a 1%.
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