Questões de Matemática do ano 2004

Leia as afirmações abaixo.

I. A avaliação mediante testes e exames diz muito pouco sobre aprendizagem. Na verdade, os alunos passam em testes para os quais são treinados. É essencial distinguir educação de treinamento.

II. Não conhecer um determinado assunto, seja por falta de interesse, seja por falta de capacidade para aprender esse tema, é grave.

III. O docente está num processo permanente de aprimorar sua prática e nada melhor para isso do que ele próprio conhecer seu desempenho por meio de relatórios dessa prática, feitos pelos alunos.

As afirmações que estão em desacordo com a proposta de avaliação defendida por Ubiratan D'Ambrosio, em seu livro Educação Matemática: da teoria à prática são, APENAS,

• A.

  I e II.

• B.

  II e III.

• C.

  I e III.

• D.

  II.

• E.

  III.

No século IX o matemático Al-Jawhari desenvolveu métodos de resolução de equações, incluindo processos geométricos. Vamos ver um exemplo de representação geométrica para a resolução de uma equação de segundo grau em x. Traçam-se primeiramente um quadrado de lado x unidades e quatro retângulos de lados 2,5 e x unidades.

Em seguida, acrescentam-se quatro quadrados de lado 2,5 unidade, obtendo-se dessa forma um quadrado de lado (2,5 + 2,5 + x)

Se esse quadrado tem área de 64 unidades quadradas, o valor de x e uma possível equação para essa representação são

• A.

  4 e x² + 10x = 56

• B.

  4 e x² + 12x = 64

• C.

  3 e 3x² − 55x = 64

• D.

  3 e x² + 10x = 39

• E.

  3 e x² + 8x = −33

Considere as afirmações abaixo.

I. O aluno pode sempre chutar qualquer valor que encontrará, cedo ou tarde a resposta adequada.

II. É uma técnica que estimula a análise do problema, dos dados e dos resultados além de trazer a liberdade de fazer suposições.

III. Ajuda o aluno a selecionar as operações necessárias para resolver o problema e diminui a pressão de obter a resposta correta imediatamente.

Dentre essas afirmações, a adoção da estratégia aproximações sucessivas na resolução de um problema é justificada por

• A.

  II, apenas.

• B.

  III, apenas.

• C.

  II e III, apenas.

• D.

  I e II, apenas.

• E.

  I, II e III.

O artigo "Desenvolvimento da representação algébrica através de diagramas", do livro As idéias da álgebra, organizado por Coxfor, Arthur F. e Shulte, Albert P., os autores, Martin A. Simon e Virginia C. Stimpson traz uma possível representação para o problema: "A soma do número de livros de Jack com o número de livros de Jill é 20. Se Jill perder 3 de seus livros e Jack dobrar a quantidade dos que tem, os dois, juntos, ficarão com 30 livros. Quantos livros tem cada um?"

Um registro algébrico correto para a possível representação é

• A.

  (20 + x) − 3 + 2x = 30

• B.

  20 − x − 3 + 2x = 30

• C.

  17 + 2x = 30

• D.

  17 − x = 30

• E.

  20 − 3 + 2x = 30

Considere o texto apresentado abaixo para responder as questões de números 27 e 28.

Segundo a autora, a resolução apresentada por Dony, utilizou uma determinada estratégia. Essa estratégia está corretamente descrita em:

• A.

  utilização de material dourado.

• B.

  antecipação do resultado.

• C.

  utilização de um algoritmo convencional.

• D.

  reconhecimento de que adição e subtração são operações inversas.

• E.

  busca do complemento do subconjunto em relação ao conjunto universo.

Considere o texto apresentado abaixo para responder as questões de números 27 e 28.

Segundo a autora, a análise da resolução de Dony mostra que:

• A.

  é fundamental que as maneiras convencionais de resolução de problemas, utilizando uma adição ou uma subtração, sejam apresentadas às crianças desde o início do trabalho.

• B.

  encontrar uma estratégia adequada para resolver um problema é algo muito diferente de poder representá- lo através de uma conta convencional.

• C.

  a utilização de algoritmos tradicionais, de adições e/ou subtrações, estimula nas crianças o desejo de diminuir o tempo despendido na resolução de algum problema.

• D.

  na resolução de problemas envolvendo somas e subtrações as crianças utilizam estratégias mentais primárias, que podem ser substituídas, com sucesso, por técnicas convencionais.

• E.

  a maneira mais eficiente de resolver determinado problema sempre exigirá a utilização de um algoritmo convencional.

Para representar um número natural qualquer podemos utilizar a letra n. Para representar um número natural ímpar qualquer podemos utilizar a notação 2n + 1. Sendo assim, o resultado de (2n + 1)² sempre será, para qualquer n, um número

• A.

  primo.

• B.

  múltiplo de 3.

• C.

  par.

• D.

  ímpar

• E.

  divisor de 72.

Um problema clássico consiste em calcular valores de x de modo que 10^x tenha resultados iguais a 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc, com boa aproximação.

O valor de x em 10^x=1 é x= 0, pois 10⁰ = 1

Para calcular o valor de x em 10^x = 2, adotaremos a seguinte estratégia: vamos escrever potências de 10 e potências de 2 e procurar, dentre elas, os valores mais próximos.

Aproximando 1000 para 1024, teremos:

Extraíndo a raiz décima de ambos os membros, ficaremos com o seguinte:

Com base nesse procedimento e considerando a aproximação entre 2 x 10⁴ = 20 000 e 3⁹ = 19 683, o valor de x para 10^x = 3 é

• A.

  0,330

• B.

  0,410

• C.

  0,478

• D.

  0,555

• E.

  0,984

Analisando a grande diversidade de respostas que diferentes crianças podem produzir frente ao mesmo problema, Delia Lerner Zunino, em seu livro Matemática na escola: aqui e agora, coloca a questão: Como fazer para que a diversidade constitua-se em um fator positivo para o aprendizado?

Segundo a autora, os três elementos da resposta geral a essa pergunta são:

• A.

  cooperação entre as crianças, confrontação das diversas estratégias, validação das estratégias adotadas.

• B.

  repetição de processos detectados como corretos, análise de expectativas futuras, contextualização.

• C.

  verificação da resposta, confrontação de métodos utilizados, escolha do método considerado mais eficiente.

• D.

  estipulação de tempo dedicado à resolução, eleição do processo que tenha demandado tempo mais curto, aceitação da estratégia eleita como mais eficiente.

• E.

  listagem dos métodos de resolução disponíveis, análise dos métodos realmente utilizados, valorização dos métodos que permitiram acertos.

Vamos definir problemas de pesquisa aberta como sendo aqueles em cujo enunciado não há uma estratégia implícita para resolvê-los, nem operações imediatas. Demonstrações de teoremas enquadram-se nessa categoria, assim como questões do tipo "encontre todos...". Leia os problemas:

I. Quais são os números naturais que têm um número ímpar de fatores?

II. Quantos triângulos diferentes, de lados de medidas inteiras, podem ser construídos de modo que o lado maior tenha 5 cm de comprimento? 6 cm? n centímetros?

III. Uma bolsa com moedas de 5, 10 e 25 centavos contém 435 moedas no valor de R$ 43,45 . Há três vezes mais moedas de 10 do que de 25. Quantas moedas de cada tipo estão na bolsa?

IV. Imagine n armários, todos fechados, e n pessoas. Suponha que a primeira pessoa passe e abra todos os armários. Depois, passe uma segunda pessoa e feche um armário sim e o outro não, começando pelo número 2. A terceira pessoa, então, passa e altera o estados das portas dos armários, de três em três, começando pelo número 3 (isto é, se este está aberto, ela o fecha, e vice-versa). Se esse procedimento continuar até que todas as n pessoas passem, quais dentre as portas ficarão abertas?

Com respeito a esses problemas, é INCORRETO afirmar que

• A.

  o problema IV apresenta uma forma instigante de apresentar a mesma situação que aparece no problema I.

• B.

  o problema II é de pesquisa aberta porque propicia ao aluno a experiência de buscar e encontrar um padrão geométrico.

• C.

  o problema III já traz uma estratégia de resolução no enunciado. O obstáculo a vencer é apenas o de traduzir a palavra escrita pela forma matemática apropriada, de maneira a usar as equações adequadas.

• D.

  se reconhece o problema I como de pesquisa aberta pelo tipo de pergunta que faz.

• E.

  apenas o problema IV é de pesquisa aberta.