Questões de Matemática do ano 2013

O último teorema de Fermat, enunciado em 1637 por Pierre de Fermat, foi provado, em 1995, pelo matemático britânico Andrew Wiles. O referido teorema assevera que não existem números inteiros não nulos x, y, z e n, com n > 2, de modo que xⁿ + yⁿ = zⁿ. Considere que a, b e c sejam números racionais positivos que constituem as medidas dos três lados de um triangulo retângulo. Nessa situação, a partir do referido teorema de Fermat e de propriedades dos números reais, assinale a opção correta.

• A.

  Se a² + b² = c², em que a = k, b = k + 2 e c = k + 4, e k > 0 é um número inteiro, então, necessariamente, k > 10.

• B.

  Pelo menos um dos números a², b² ou c² é um número irracional.

• C.

  

• D.

  Se a for um número inteiro, então a > b + c.

• E.

  Se a e b forem números inteiros ímpares e se a² + b² = c², então c também será ímpar.

• A.

  

• B.

  [ln(2)]⁴ s.

• C.

  ln(2⁴) s.

• D.

  

• E.

  0 s.

Se a e b são números reais, define-se, a partir de a e b, uma sequência de Fibonacci {ak} por: a₁ = a, a₂ = b, e a_k = a_{k – 1} + a_{k – 2}, para k > 2. Nesse sentido, é correto afirmar que

• A.

  apenas {x_k} é uma sequência de Fibonacci.

• B.

  apenas {y_k} é uma sequência de Fibonacci.

• C.

  apenas {x_k} e {y_k} são sequências de Fibonacci.

• D.

  apenas {x_k} e {z_k} são sequências de Fibonacci.

• E.

  {x_k}, {y_k} e {z_k} são sequências de Fibonacci.

Se 2 anos após a semeadura haviam 20, 15 e 29 pés da planta nos jardins X, Y e Z, respectivamente, então, no jardim Y foram semeadas

• A.

  2 sementes.

• B.

  5 sementes.

• C.

  7 sementes.

• D.

  10 sementes.

• E.

  16 sementes.

O determinante de A⁴ é igual a

• A.

  -16.

• B.

  0.

• C.

  16.

• D.

  20.

• E.

  81.

Considere que foram semeadas nos jardins X, Y e Z, respectivamente, 1, 3 e 2 sementes da planta. Assim sendo, assinale a opção correspondente às quantidades de plantas que havia nos jardins X, Y e Z, respectivamente, 2 anos após a semeadura.

• A.

  2, 3 e 10

• B.

  3, 6 e 17

• C.

  4, 1 e 9

• D.

  5, 4 e 14

• E.

  16, 1 e 25

Suponha que, em razão da retirada dos cabos de aço que estabilizavam a caixa de água, o cilindro tenha se inclinado, até o final do primeiro mês, 2° em relação à vertical, e, até o final de cada mês seguinte, 50% da inclinação ocorrida no mês anterior, sempre na mesma direção. Nessa situação, a inclinação havida até o final do 8.º mês foi

• A.

  inferior a 3°.

• B.

  superior a 3° e inferior a 4°.

• C.

  superior a 4° e inferior a 5°.

• D.

  superior a 5° e inferior a 6°.

• E.

  superior a 6°.

Considere que R seja o ponto de interseção das retas que contém os segmentos QA e PB. Nessa situação, o volume da pirâmide OQPR é igual a

• A.

  1/3 × [17,2]³ m³.

• B.

  1/2 × [17,2]³ m³.

• C.

  [17,2]³ m³.

• D.

  1/9 × [17,2]³ m³.

• E.

  1/6 × [17,2]³ m³.

Considere que, em determinado momento, tenha sido estimado que a altura — h — do nível de água na caixa seja tal que |5h - 9| < h. Nessa situação, é correto concluir que h é

• A.

  superior a 1 m e inferior a 3 m.

• B.

  superior a 3 m e inferior a 5 m.

• C.

  superior a 5 m e inferior a 7 m.

• D.

  superior a 7 m e inferior a 9 m.

• E.

  superior a 9 m e inferior a 11 m.

Se os pontos M e N estão sobre a circunferência externa da base do cilindro e sobre a reta de equação 5x - 5y = 11, então a distância de M a N será igual a

• A.

  

• B.

  11 m.

• C.

  

• D.

  

• E.